Бог математики

Математику начинают изучать со счета камешков, палочек или яблок.
Потом переходят к арифметическим действиям, сначала сложение (пока не чисел, а яблок), затем вычитание, потом умножение и деление. Постепенно возникает и усваивается понятие числа, затем его последовательно расширяют и углубляют — двузначные числа, счет до сотни, до тысячи, отрицательные, дроби., правила действий, коммутативность и ассоциативность, десятки и сотни примеров и упражнений…
Дальше — иксы с игреками, уравнения, корни, рациональность и иррациональность. Потом уже, если кто доберется — математический анализ, комплексные числа, некоммутативные алгебры, проблемы вычислимости и т.д.
Чем дальше идешь — тем меньше опираешься на наглядное представление, тем больше роль символов. И для многих математика предстает уже не человеческим изобретением, а миром объективно существующих идей, к которому обычный человек может лишь прикоснуться, при усердии подняться на несколько ступеней. Но все же человек может проникнуть вглубь, узким путем, многолетним упорным трудом, и узреть великолепные вершины, открыть великую красоту и глубину.
Невозможно пройти этот путь, сохраняя детское представление о числах как о словах, используемых для пересчета камешков и яблок. Не только ничего не поймешь, но уже на первых шагах будешь считать, что тебя обманывают. Не бывает отрицательного числа яблок, невозможно извлечь корень из двух камней.
Начальное, детское восприятие религии возникает через наглядные представления и привычные понятия. Небо и земля, отец и сын, дух и слово, жизнь и хлеб, видеть и слышать. И дело тут не только в том, что Откровение предназначено малым детям, неграмотным пастухам и простым рыбакам. Это не учебные камешки для первого класса, это слова, сказанные всем и на все времена. «Кто говорит, тот кроме имен, взятых с предметов видимых, ничем иным не может слушающим изобразить невидимого» (Св. Ефрем Сирин).
Очень важно сохранить детскую доверчивость, ясность и чистоту веры. Но продвижение вглубь требует и углубления проникновения в смысл символов, понимания их связи и многомерности. Однако при этом слова Отец, Сын, Дух, Хлеб, Небо не заменяются на абстрактные x, y, z, a, b, c, на бумаге остаются те же слова, хоть и написанные иногда с заглавной буквы.
И потому для многих взрослых и образованных есть удобная возможность видеть в библейских текстах лишь мифы и нравоучительные истории. А многие видят обман и надувательство. Возможно, и четыре яблока они делить не очень-то хотят.

Эта достаточно сложная загадка заставит любого хорошенько порыться в Библии.

Годы царствования Давида прибавьте к годам царствования его сына Соломона. От полученного отнимите количество человек, спасшихся в Ковчеге, и отнимите число детей Иова, которые родились у него после испытания. К результату прибавьте номер главы книги пророка Исаии, в которой написано: «Но Он изъязвлен был за грехи наши и мучим за беззакония наши; наказание мира нашего было на Нем, и ранами Его мы исцелились». Добавьте количество верблюдов, которых взял с собой раб Авраама, идя за невестой Исааку. Теперь отнимите сумму, за которую был продан в рабство Иосиф, и вы получите номер стиха.

Теперь возьмите число лет, до которого Господь сократил жизнь людей на земле, после того как они впали в грех и прибавьте к числу лет жизни Сарры. Добавьте число дней густой тьмы, покрывшей Египет по слову Моисея. Теперь разделите полученное число на количество детей Ноемини. Отнимите от результата количество рабов, помогавших Гедеону разрушить жертвенник Ваалу и прибавьте число месяцев, в которые мать Моисея скрывала его в своем доме от египтян — так вы получите номер главы.

Oтвет

DOI: 10.15643/libartrus-2017.1.4

Понятие истинности математической теории в контексте обоснования современной математики

© Н. В. Михайлова

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники Беларусь, 220013 г. Минск, улица Петруся Бровки, 6.

Em ail: michailova_mshrc@mail.ru

Понятие истинности математической теории играет важную методологическую роль в философии математики в контексте связующего звена между онтологическими и гносеологическими аспектами проблемы обоснования математики. В статье анализируется, как особенности математического познания отражаются в понимании концепции истины в современной математике. Утверждается, что понятие истинности предложений и теорем в математике является метаматематическим, поэтому недооценка различия между математикой и метаматематикой может привести к философским недоразумениям. Суть таковых заключается в следующем. В науке был практически репрезентирован теоретически возможный уровень строгости современных математических теорий, но для разрешения принципиальных философско-ме-тодологических трудностей проблемы обоснования математики необходима формальная доказуемость в логически непротиворечивой теории. Отмечается также, что вопреки широко распространенному мнению жесткая формализация доказательства все же не является синонимом надежности и строгости математических рассуждений с точки зрения философии обоснования современной математики.

Ключевые слова: философия математики, проблема истины в математике, непротиворечивость, обоснование математики.

1. Введение

Как известно, одной из сложнейших проблем теории познания является проблема истины: возможно, это самая сложная философская проблема, поэтому мы сузим рассмотрение этой трудной темы до философского понимания истины в контексте обоснования современной математики, хотя не каждый философ математики будет говорить, например, об «истинной математике» как единственно возможном своде правильных рассуждений и умозаключений. До конца девятнадцатого века мало кто сомневался в истинности математических теорий, однако с возникновением неевклидовых геометрий, наряду с заботой о непротиворечивости выбираемых систем аксиом, снова пришлось возвращаться к проблеме истинности, но уже на более высоком уровне метаматематического обоснования. В рамках фундаменталистского направления в философии математики математическое утверждение «возводится в ранг истины» посредством доказательства, которое рассматривается как необходимый атрибут математического мышления. Это означает, что в фундаментализме истинным является доказанное математическое знание. Вообще, отметим, что «объяснение природы математической истины является центральной темой и в современной философии математики, включающей в себя вопросы эпистемологии и онтологии формальных теорий» . Поэтому в фи-

лософии математики предпринимаются попытки найти соответствующее направление внешнего обоснования математических теорий, которое сводится к ответу на философский вопрос: как можно охарактеризовать математическую истину?

При ответе на данный вопрос следует соблюдать осторожность, т.к. понятие истины с необходимостью предполагает наличие некоторой оценки, основание которой пока не совсем ясно, с точки зрения соотношения веры и знания. Но философов математики интересует не только проблема обоснования математики в плоскости эпистемологии или вопрос о природе математического знания в аспекте онтологии, а, прежде всего, вопрос о том, какую функцию истина выполняет в математическом знании. Вопрос об онтологической истинности математических предложений и теорем зависит от философского взгляда на природу самой математики, а также от интерпретации понятия доказательства и метаматематического понятия непротиворечивости. Поэтому, анализируя развитие философских представлений по проблеме обоснования современной математики, нельзя не связать их с актуальной темой «истины в математике», поскольку особенности математического познания находят свое отражение в понимании возможности убедительного доказательства математических теорем в качестве «эталона истины». Утверждение признается математически истинным, если оно, будучи включенным в определенный методологический контекст математической теории, не приводит к противоречиям, а непротиворечивость конкретной математической теории не идеальная цель, а фактически реализуемое состояние.

Без концепции истины трудно представить себе современную математику. Соответствующие высказывания о математической истине расположились в диапазоне от невозможности дать определенный ответ до безусловной истинности математических теорем. Причина такого разногласия, по мнению математика Ю. И. Янова, состоит в том, что «понятие истинности теорем является метаматематическим, и потому до тех пор, пока соответствующий раздел метаматематики не был формализован и тем самым превращен в часть математики, обсуждение этого вопроса могло носить только философский характер» . Заметим, что недооценка различия между математикой и метаматематикой может привести к недоразумениям и противоречивым высказываниям, т.к. предметом математики являются формальные системы, создаваемые математиками, а к предмету метаматематики относится изучение, описание, обсуждение свойств формальных систем, таких как непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и других. Заметим, что ХХ век стал переломным с точки зрения трактовки фило-софско-математических вопросов в математике, поскольку значительная часть метаматематики была «математизирована», и такое понятие как доказательство приобрело вполне определенный формальный смысл, хотя его «неявная опора» на использование классической логики не позволила достичь «полного обоснования» математики. При общем стремлении к объективной истине можно ли ее рассматривать как предельное знание? Вообще говоря, нет, но внутренняя убежденность и вера в истинность знания необходима любому человеку. Согласно этой вере, математика есть подлинное знание, т.к. открывает истину.

2. Вопрос о непротиворечивости математических теорий

Но истинность теоремы — это лишь часть знания, раскрывающегося в ее математическом доказательстве. Даже философское несоответствие естественной и формальной логик отражено в несоответствии между понятием «истинность» и понятием «доказуемость». В идеале

истинность математического утверждения устанавливается с помощью доказательства. Следуя принятой математической практике, по-видимому, можно согласиться с заключением профессионального математика Ю. И. Янова, что «мы можем определить понятие истинности предложений в математике как формальную доказуемость в непротиворечивой теории» . При этом следует особо подчеркнуть, что речь идет о формальных теориях, т.к. содержательные теории не столь уязвимы с точки зрения противоречивости, поскольку их можно рассматривать не целиком, а в виде фрагмента, локальная непротиворечивость которого обеспечивается в процессе его построения. Таким образом, математическое предложение истинно, если оно формально-логически следует из аксиом непротиворечивой теории, благодаря чему метаматематическое понятие истинности приобретает внутриматематический характер. Отметим, что теоретический вопрос концепта математической истины, в связи с развитием современных компьютерных технологий и вычислений, оказался более философски приземленным и не менее важным вопросом в контексте обоснования современной математики. Что касается масштабных компьютерных вычислений, то эмпирически они могут быть убедительными, но при этом они не всегда избавляют от необходимости рефлексии математических доказательств.

Вопрос о непротиворечивости теории множеств, представлявшийся в начале XX века важнейшей проблемой современной математики, не интерпретируется сейчас как вопрос о непротиворечивости всей математики. Более того, в такой достаточно развитой науке, как современная математика, могут существовать непротиворечивые теории, объединение которых противоречиво. Поэтому, возможно, вопрос о непротиворечивости математики в целом не имеет смысла, т.к., например, аксиоматические теории евклидовой и неевклидовой геометрии, которые непротиворечивы порознь, противоречивы в совокупности. Работающий математик, как правило, не задается вопросом об истинности математических теорий. Кроме того, по мнению Б. Л. Яшина: «Он уверен в том, что, если та или иная теорема (высказывание) математики является следствием некоторой непротиворечивой системы аксиом, то ее (его) необходимо считать истиной. При этом молчаливо полагается, что непротиворечивая система аксиом не может содержать ложных положений, то есть каждая из аксиом является истинным высказыванием» . Однако критерий непротиворечивости нельзя считать единственным или определяющим в проверке истинности математической теории, потому что истинность, а также степень надежности аксиом можно установить лишь практикой математического познания и его приложений. В обосновании современной математики исследуется только непротиворечивость отдельных математических теорий, например, формальной теории множеств в рамках формалистского направления обоснования. Поэтому можно сказать, что непротиворечивость математической теории является для утверждения истинности ее предложений необходимым, но, вообще говоря, не достаточным условием.

Сложившуюся традицию можно обозначить как «релятивизм», в рамках которой вместо поиска математической истины математики занялись поисками логической непротиворечивости с учетом специфики ее зависимости от того, что именно положено в основу математических рассуждений. В частности, «не релятивизированное» понятие истины в математике может быть востребовано, когда истина одинаково представлена во всех математических структурах. Можно даже предположить, что «центральное ядро» любой признанной математической теории непротиворечиво, например, непротиворечивость таких теорий, как элементарная геометрия, арифметика, анализ, хорошо изучена и достаточно надежно обоснована.

Действительно, после доказательства непротиворечивости арифметики, хотя и более сильными средствами, чем финитные, практически снизился методологический интерес к доказательству непротиворечивости других формальных теорий. Однако по-прежнему остается проблематичной непротиворечивость такой мощной аксиоматической теории, как система Цер-мело-Френкеля. История и генезис развития современной математики показывают, что в ней столь же трудно ожидать противоречий, как и в арифметике, понятия которой существенно использовались при построении интерпретаций для доказательства непротиворечивости других математических теорий. Тем не менее можно предположить относительность истины, которая отражает объект познания не полностью, а в некоторых обусловленных пределах. В таком философском контексте математическая истина может оказаться относительной, т.к. в математике логически выведенные истины ограничиваются рамками начальных условий задачи или набором исходных аксиом, а с точки зрения проблемы обоснования, нельзя настаивать на безупречности проведенного рассуждения о непротиворечивости аксиоматизированных математических теорий.

В действительности следует признать, что непротиворечивость математической теории остается пока главным критерием ее истинности, хотя трактовка критерия истинности в математике становится уже другой, поскольку вместо попыток формального доказательства непротиворечивости математической теории выдвигается более умеренное требование наличия косвенных доводов, подтверждающих непротиворечивость теории. Ведь до сих пор нет четких философских критериев, позволяющих отделить истину от заблуждения, и, как отмечает А. Л. Никифоров, «…важно и нужно исследовать разнообразные факторы, релятивизиру-ющие результаты познавательной деятельности, уточнять понятия субъекта, объекта и предмета познания, но, как мне представляется, все такого рода исследования сохраняют смысл лишь до тех пор, пока мы — явно или неявно — сохраняем классическую идею истины» . Что касается философского понимания истины в математике, то, с одной стороны, онтологическая истинность математических понятий и принципов должна быть гарантией их непротиворечивости по отношению друг к другу, а с другой — трудности обоснования непротиворечивости аксиоматической системы, формируемой без ссылок на очевидность, приводят к тому, что она не может быть принята в качестве онтологически истинной и доступной интуиции. Это связано еще и с тем, что непротиворечивость необходима, но все же недостаточна для подтверждения истинности математических утверждений, т.к. логика редуцирует математическую теорию к аксиомам, хотя при этом ничего не говорит об истинности последних.

3. Концепция истины в современной математике

Понятие соответствия математической мысли исследуемому объекту является чрезвычайно расплывчатым, поэтому его можно уточнять и философски конкретизировать по-разному. Но математики верят в то, что истинное знание дает им адекватную картину окружающего мира. В частности, для понимания других косвенных доводов, подтверждающих непротиворечивость теории, также необходимо понять, откуда у математиков возникает вера, или философская идея, в существование математической истины. Ведь математическое творчество, стремящееся к обретению математической истины, опирается не только на веру, но еще и на математическое знание. «Более того, — как утверждает активно работающий математик Ю. И. Манин, — процесс открытия истины может включать в себя и обычно включает экспериментирование (в наши дни — обширное и использующее компьютеры), ошибочные идеи,

неожиданные озарения и все прочее, благодаря чему математическое творчество столь привлекательно для тех, кто им занимается» . Для экспликации соответствующих путей познания математической истины в контексте философии математики надо рассмотреть основные направления обоснования современной математики как функционирующую систему. Следует также подчеркнуть, что различные истины интуиционистского и формалистского направлений в обосновании математики, сближающиеся в финитных рассуждениях, хотя и не являются совместимыми, тем не менее могут быть интерпретированы как связанные фило-софско-методологическим принципом отношения дополнительности.

Выявляя наиболее существенные черты рабочих направлений обоснования современной математики, вообще говоря, нет необходимости сосредотачиваться только на одном каком-то направлении, например, интуиционизма или формализма, отказываясь тем самым от других способов и методов доказательства в математике. Напомним, что обоснование математических доказательств с самого начала возникло на стыке двух гносеологически противостоящих концепций интуиционизма и формализма, каждая из которых пользовалась своей логикой, в связи с их методологическим подходом к проблеме выбора логических средств, допустимых в математических рассуждениях. Могло так оказаться, что высказывание, истинное в рамках разных логических систем, и доказывается в них по-разному. По этому поводу философ математики В. Я. Перминов отметил: «Система любых истин совместна, и несовместимость описания говорит о его ложности в некоторых моментах. Таково общее отношение истинности и логической непротиворечивости, вытекающее из статуса логики. В эмпирических науках мы не можем непосредственно переходить от истинности суждений к их непротиворечивости по той причине, что истинность системы эмпирических утверждений всегда проблематична» . Даже если математическая теория не формализована, она все же ограничивает средства, допустимые для решения своих проблем, хотя математические структуры имеют определенную произвольность. Возможно, ошибка классических программ обоснования математики состояла в том, что они стремились абсолютизировать какую-то одну систему достоверных положений обоснования, не учитывая их дополнительный характер взаимодействия, т.е. в них не выдерживался принцип «логического консенсуса», одинаково приемлемый и для формалиста, и для интуициониста.

Поэтому философская концепция истины не должна оценивать достоинства различных направлений обоснования математики, т.к. математическая истина не рассматривается как нечто законченное и навсегда незыблемое. Даже ограничения формализма, установленные теоремами Геделя, не поколебали общего убеждения современных математиков в его целесообразности, а возникающие при их разрешении трудности давали дальнейшие мощные импульсы к развитию математики на современном этапе. Если оценивать концепцию истины, то можно заключить, что ее не следует связывать исключительно с формалистским направлением. Это можно аргументировать отсутствием общепринятого представления о том, что такое знание, и чем же оно отличается от веры. Еще важно исследовать разнообразные фило-софско-методологические факторы, релятивизирующие результаты познавательной математической и интеллектуальной деятельности, т.к. в методологии обоснования современной математики отражаются все тенденции, свойственные философии и связанные с философской проблемой истины. Фактически она сводится к главному онтологическому вопросу о существовании математических объектов, в котором переплетаются различные философские проблемы, в частности, касающиеся понятия математической истины.

4. Заключение

Понятие истины играет важную методологическую роль в философии математики еще и в качестве связующего звена между онтологическими и гносеологическими аспектами проблемы обоснования математики. Проблема обоснования современной математики толкуется в неклассической и постнеклассической науке не как проблема абсолютного обоснования, а как экспликация систематизации всех направлений развития математики. Кроме того, с точки зрения обоснования математики, проблема истины в математике заключается в том, что, даже при точном определении языка математики, математические предложения, которые являются истинными либо ложными, или во всяком случае осмысленными в одном языке, могут быть бессмысленными выражениями в другом, например, естественном языке. В связи с неоднозначностью философского понимания истины в современной математике следует обратить внимание на то, что современная математика вовсе не настаивает на том, что некоторое ее утверждение непременно истинно, а считает, что если принять ряд предположений, то данное утверждение является их логическим следствием. В результате философского осмысления сложной проблемы обоснования современной математики, даже несмотря на то, что математические теории исходят из истинных оснований и законов дедукции, математика остается самой сложной для понимания наукой.

Философ математики Л. Б. Султанова с позиции неявного знания обозначила проблему границ познания: «Выяснилось, что и математический разум, и научное познание вообще имеют свои пределы, и что центральным вопросом не только философии математики, но и философии науки, а также теории познания должен стать вопрос о границах познания, причем познания не только математического, но и научного» . Заметим, что в отличие от метаматематики философия математики в качестве неотъемлемой нефундаменталистской составляющей включает в себя существующую социокультурную реальность. Поэтому вопрос о понимании истины в математических теориях оказался в связи с развитием компьютерных вычислений практически приземленным, хотя методологически не менее важным вопросом, с точки зрения обоснования современных математических теорий. Ни одно философское направление не может вызвать сочувствие у работающего математика, если оно не признает объективного существования математической истины. В частности, используя локальную непротиворечивость и философский концепт истины, можно попытаться на основе философского принципа рефлексии сделать доступными ценности разных методологических подходов к обоснованию математики, позволяющие получить новые математические выражения, не выводимые из исходной системы аксиом и правил вывода. Из практического применения теоретической математики иногда делается вывод о том, что математическая теория в своей истинности проверяется или обосновывается практикой. Такой вывод получается при смешении таких понятий, как истинность и содержательность. Можно утверждать, что развитие содержательной математической теории стимулируется практикой, что она в этом случае отражает реальность и она тогда содержательна, в смысле соответствия системе реальных связей. Но отсюда не следует, что она истинна и подобно эмпирическим теориям обосновывается ее использованием.

В довольно широкой философской перспективе не следует также связывать математическую истину, ограниченную математическим доказательством и реализуемую поэтапно в генезисе математического познания, исключительно с направлением формализма Гильберта в обосновании математики. Классическая теория истины как соответствия знания реальности

называется корреспондентной, но наряду с этой теорией истины в философии науки можно еще выделить когерентную теорию, суть которой состоит в том, что истинными в ней считаются любые внутренне непротиворечивые и согласованные высказывания. Ее определенным философским недостатком является то, что указанные высказывания могут быть произвольными. Среди других теорий истины определенным влиянием пользуется прагматическая концепция истины, согласно которой истина выступает как практическая полезность и эффективность знания, которые имеют непосредственное отношение к современной математике. Механизмы признания истинности научного знания, вообще говоря, не ограничиваются совокупностью одних только логико-эпистемологических процедур, а в общефилософском контексте с учетом реальной математической практики, в случае невозможности доказательства непротиворечивости математической теории, следует также признать допустимость социокультурного критерия практической полезности.

Литература

1. Хлебалин А. В. Понятие истины в математической теории // Сибирский философский журнал. 2016. Т. 14. №2. С. 5-12.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2. Янов Ю. И. Математика, метаматематика и истина. М.: ИПМ им. М. В. Келдыша. Препринт №77, 2006. 32 с.

3. Яшин Б. Л. Проблема истины в математике // Математика в контексте философских проблем. М.: МГПИ, 2012. С. 49-55.

4. Никифоров А. Л. Понятие истины в теории познания // Эпистемология и философия науки. 2008. Т. XVI. №2. С. 50-65.

6. Перминов В. Я. Философия и основания математики. М.: Прогресс-Традиция, 2001. 320 с.

7. Султанова Л. Б. Неявное знание в развитии математики: монография. Уфа: РИЦ БашГУ, 2009. 260 с.

Поступила в редакцию 22.01.2017 г.

DOI: 10.15643/libartrus-2017.1.4

The concept of truth of the mathematical theory in the context of contemporary mathematics substantiation

© N. V. Mikhailova

Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics 6 Petrus Browka Street, 220013 Minsk, Belarus.

Em ail: michailova_mshrc@mail.ru

Keywords: philosophy of mathematics, problem of truth in mathematics, consistency, substantiation of mathematics.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at edit@libartrus.com if you need translation of the article.

1. Hlebalin A. V. Sibirskijfilosofskij zhurnal. 2016. Vol. 14. No. 2. Pp. 5-12.

4. Nikiforov A. L. Jepistemologija ifilosofija nauki. 2008. Vol. XVI. No. 2. Pp. 50-65.

Наука > Естествознание

Знает ли Бог математику?

Математика, как учат нас в школе, появилась из насущных потребностей людей: надо было как-то считать членов племени, добычу, домашний скот (так появилась арифметика), а потом — измерять участки земли (отсюда пошла геометрия). И кажется, что это естественно — считать мамонтов поштучно или измерять площадь квадратиками. И никакой загадки здесь нет.

Но все-таки без таинственного изучать математику скучно, трудно и противно. А поэтому давайте попробуем удивиться, как ребенок, встречающийся с этой наукой впервые.

Удивление вызывают парадоксы. А в этой области их множество. И вот первый из них: математика — наука о несуществующем, точнее, о невидимом. Ведь нет такой вещи, которая называется «число»: его нельзя потрогать, увидеть… Это лишь идеальная сущность, абстракция, нечто объединяющее многие разрозненные восприятия окружающего нас мира. Это же относится и к геометрическим фигурам, хотя и в меньшей степени, потому что точку или отрезок прямой можно если не нарисовать, то хотя бы представить как зримый образ. Реальная точка на бумаге, в отличие от математической, имеет хотя и достаточно малый, но все же ненулевой размер, так что нарисовать математическую точку действительно нельзя.

В этом смысле математика — наука о мире идей, а не о мире вещей. Из-за этого многие даже отказывают ей в праве называться наукой, считая, что она лишь специальный язык, всеобщий язык, на котором все-таки можно изъясняться и объяснять, как устроен мир.

И в этом еще один парадокс: как может математика — наука об идеальном — все-таки описывать мир существующих вещей? Этот вопрос мучил еще многих мудрецов античности и продолжает волновать умы современных ученых.

На фрагменте фрески Рафаэля «Афинская школа» изображен Пифагор с учениками

Священный Тетраксис пифагорейцев

Пифагор, например, считал, что миром правят числа. Вот уж точно удивительно: почему числа, а не боги, не законы природы, не цари, президенты, парламенты? Ну, с царями — вопрос особый: если кто-то думает, что он может править вопреки законам божественным или природным, то Бог ему судья… Поэтому остановимся на богах и природе, тем более что особой разницы между ними можно и не углядеть. А законы природы, оказывается, математичны, в этом великая догадка знаменитого мудреца. Одно из наиболее известных математических правил нашего мира известно как теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Смотрите-ка: В ЛЮБОМ! Какой ни возьми. А почему? Не измерял же Пифагор квадраты гипотенуз всех прямоугольных треугольников? Нет, он нашел правило, принцип. Закон природы или Бога. Он научился размышлять подобно Богу, и эти размышления оказались математическими, идеальными. А наш мир — «только тени от незримого очами».

Но не одни лишь арифметические и геометрические правила виделись мудрецами античности как основа мира. Числа «один», «два», «три» символизировали великие принципы Единства, Двойственности, Троичности.

Единство — единое начало, источник всего сущего, великая изначальная сила, рождающая Вселенную. Эти представления характерны как для мифологического, так и для современного способа восприятия мира. С Единством связан и древнегреческий Хаос, и Парабрахман индийских Вед, и Дао китайской философии. В современных научных космогонических теориях единое начало нашло свое отражение в теории Большого взрыва, «единую силу» ищут сейчас физики в теории, объединяющей четыре известных типа взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. В мифологии Единое скрыто, не проявлено, недоступно для нашего понимания. В науке причина также скрыта: физика не в силах объяснить, почему произошел Большой взрыв, почему именно так проявляются те или иные фундаментальные взаимодействия, зато достаточно точно описывает, как они проявляются.

Двойственность возникает, как только мир начинает проявляться «из ничего». Возникает противоположность «проявленное — непроявленное». Более развитый мир мы также воспринимаем через противоположности: в нем существуют добро и зло, свет и тьма, тепло и холод, идеальное и материальное…

Однако мир разорвется в противоречиях и не сможет существовать, если эти противоположности не окажутся соединенными, связанными между собой, чем-то уравновешенными. Это Третье, уравновешивающее противоположности путем гармоничной связи, выражается принципом Троичности и символически связано с числом «три». Триединство Бога прослеживается в триадах египетской религии, в индуизме (Тримурти), в христианстве. О необходимости третьего элемента для разрешения двоичного противостояния противоположностей говорит профессор Р. Баранцев: «Внимательно изучая семантические свойства системных триад, сложившихся в самых разных культурных традициях, можно увидеть следующую закономерность: в одном из элементов любой триады доминирует аналитическое начало, в другом — качественное, в третьем — субстанциальное. Источник этой закономерности кроется, вероятно, в триединой природе человека, в его способности мыслить одновременно и понятиями, и образами, и символами». Элементы, из которых состоит системная триада, Баранцев называет интуицио, эмоцио и рацио. Противоположности эмоциональности и рациональности могут уравновеситься интуитивностью, как, например, философия или религия может дополнить и тем самым уравновесить противоположности науки и искусства. Примером системной триады является и сама математика: она состоит из аксиом, определений и теорем. Здесь определения имеют эмоциональную окраску, так как выражают вкусы и предпочтения исследователя, теоремы связаны с логически выверенными доказательствами и являют рациональную составляющую, а аксиомы есть истины, постигаемые интуитивным путем.

Таким образом, с числами «один», «два», «три» связаны динамические принципы, определяющие пути и способы становления Космоса как упорядоченного мира (космос в переводе с греческого «порядок», «организованный мир») из Хаоса как первопричины.

Космос этот строится в мире пространства и времени, с которым символически связано число «четыре». В пространстве в разных традициях выделяются четыре направления (восток — запад и север — юг), а во временных циклах четыре символических этапа: «утро», «день», «вечер» и «ночь».

Таким образом, первые четыре числа символически связываются с возникновением Космоса, его развитием и местом (ареной), где он рождается и развивается.

Первые четыре числа пифагорейцы называли Тетраксисом. Он символизировал все самые сокровенные тайны мира и считался священным: именем Тетраксиса клялись, и эта клятва была нерушима. Немалую роль играло и то, что из этих чисел путем сложения можно получить и все оставшиеся числа первой десятки: 10 = 1 + 2 + 3 + 4. А число «десять» служило символом завершенного этапа, после которого следовало рождение новой формы Космоса, подчиняющееся тем же принципам Единства, Двойственности и так далее.

Пифагорова гамма и музыка сфер

Со священным Тетраксисом связан еще один закон гармонии Космоса, который выражается в законах музыкальных созвучий.

Пифагор со своими учениками. Иллюстрация из книги Франкино Гафурия «Теория музыки». Милан, 1492.
Гравюры изображают акустические опыты Пифагора и Филолая на сосудах, струнах и трубках, находящихся в отношениях 4:6:8:9:12:16.

Строение пифагоровой гаммы

Вдохновившись игрой пианиста, мы подчас тоже подходим к роялю и пытаемся извлечь из него потоки звуков, радующих душу. Но почти наверное вместо этого у нас получается нечто весьма немелодичное. Почему? Потому что мы нарушаем закон музыкальной гармонии. Математическое выражение этого закона легенда также приписывает Пифагору и его ученику Архиту.

Чтобы пояснить этот закон, возьмем музыкальный инструмент, состоящий из двух одинаковых струн, длину которых можно менять, прижимая их к грифу, подобно тому как это делает скрипач или гитарист. Совместное звучание, издаваемое струнами, наиболее благозвучно, если длины струн находятся в правильном численном отношении друг к другу: звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа Тетраксиса, то есть как 1:2, 2:3, 3:4. Причем чем меньше число n в отношении n:(n + 1) (n = 1, 2, 3), тем более гармоничным кажется созвучие.

В Средние века эти созвучия были названы совершенными консонансами, это: октава (если длины струн относятся как 1:2), квинта (если длины струн относятся как 2:3), кварта (если длины струн относятся как 3:4).

На основе этих созвучий была построена совершенная пифагорова гамма. Пусть звучание двух струн образует октаву. Звуки, издаваемые струнами, сопоставим с нотами «до» первой и второй октав. Пусть далее одна струна звучит как нота «до» первой октавы, а вторая составляет с ней квинту, — назовем ее звучание нотой «соль» первой октавы. Точно так же нотой «фа» первой октавы назовем звучание струны, составляющей квинту с нотой «до» второй октавы. Ноты можно графически изобразить на отрезке прямой, как это сделано на рисунке слева внизу. Расстояние между нотами назовем интервалом, он измеряется отношением длин звучащих струн. Так, интервал между нотами «до» первой и второй октав равен 2:1, это октава; интервал между «до» и «соль» первой октавы, так же как и между «фа» первой и «до» второй октав, равен 3:2, это квинта.

Тогда окажется, что «до» и «фа» первой октавы и «соль» первой и «до» второй октавы образуют кварту. Интервал между нотами «соль» и «фа» составляет тон, он равен 9/8, полутоновый же интервал имеет величину 256:243. На основании этого строится вся октава.

Именно эту гармонию признают музыканты с идеальным слухом. Однако, исходя из удобства перехода к различным тональностям, в настоящее время пользуются устройством музыкальной гаммы, основанном на интервалах, составляющих геометрическую прогрессию. Несовершенство этой гаммы может ощутить только хорошо тренированное ухо, тем не менее эксперименты с пифагоровой гаммой продолжаются и в наше время.

Планеты солнечной системы

Во все времена считалось, что идеальное расположено на небе, именно оно демонстрирует непреложный порядок чередования дня и ночи, движения небесных созвездий и других светил. По свидетельству Пифагора, идеальные гармонические пропорции, основанные на законах Тетраксиса, то есть на отношениях 1:2, 2:3 и 3:4, присущи как звучащей струне, так и строению Космоса. Считалось, что между землей и небом натянуты невидимые струны, и планеты в своем движении заставляют их звучать, образуя небесную музыку сфер. Однако эта музыка недоступна физическому уху, но лишь «уху внутреннему», «уху души».

В каждом из нас тоже звучит своя мелодия, отражающая равновесие наших противоположных жизненных сил. И если она звучит в согласии с мировой гармонией, то человек здоров, нарушение же гармонии с космической музыкой сфер приводит к болезни. Помочь настроиться на ритмы Космоса может мелодия, создаваемая с помощью музыкальных инструментов, но опять-таки если ее источником является небесная гармония.

Математика нашла критерии, позволяющие «поверить алгеброй гармонию». Среди них наиболее известен закон золотого сечения, или золотой пропорции.
Золотое сечение — деление отрезка на части в таком соотношении, при котором большая часть так относится к меньшей, как сумма этих частей к большей части. Говорят, что точка А делит отрезок ВС в золотом отношении, если длина целого отрезка (ВС) относится к большей части (ВА) как длина большей части (ВА) к меньшей (АС).

Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой j, и она равна:

Впервые золотое сечение упоминается в математическом трактате «Начала» Евклида (III век до н.э.), но сам термин появился позднее, как полагают, благодаря Леонардо да Винчи.
Закон золотого отношения виден в архитектурных формах, созданных как в Европе, так и на Востоке; во многих природных объектах — в раковинах моллюска, междоузлиях растений, в раскраске животных… По законам золотой пропорции творили многие художники и скульпторы.

Золотая пропорция в цветке подсолнуха

Золотая пропорция в Воротах Иштар

Поликлет. Дорифор (копьеносец). 450–440 гг. до н.э.

Вот так, по мнению пифагорейцев, числа правят и Вселенной, и человеком. То есть и Макрокосмом, и Микрокосмом.

Математика в философии Платона

Платон, которому приписывают открытие мира идей, дающего закон существования и развития вещей, так же как Пифагор, использовал числа и пропорции для описания развития Космоса. В диалоге «Тимей» он утверждает, что тело Вселенной Творец создал из огня и земли, а чтобы они были хорошо сопряжены между собой, Он использовал золотую пропорцию, когда «из трех чисел… при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему». Наряду с этим, по мысли Платона, фундаментальную роль в творении Космоса играли отношения целых чисел 1, 2, 3, 4, интервал в полтона пифагорейской музыкальной гаммы и так далее.

Платон, так же как и Пифагор, признавал влияние музыки на душу человека. Он считал, что музыка призвана воспитать гражданина идеального государства, построенного по тем же законам, что и космическое целое. Музыка служила «гимнастикой души», создавая человека, чья жизнь организована подобно идеальному движению небесных светил. Считалось, что музыкальные мелодии оказывают различное воздействие на душу человека, в зависимости от своей структуры, которая также описывалась математическими правилами чередования тонов и полутонов. В Греции наиболее возвышенным, мужественным и нравственно совершенным почитался дорийский лад; фригийский — возбуждающим и пригодным для войны, лидийский — женственным, изнеживающим и расслабляющим, а потому непригодным для воспитания.

Математический порядок небес

Представление о том, что мир живет по законам математики, характерно и для Средневековья. В это время широкое распространение получило сочинение Клавдия Птолемея «Великое математическое построение по астрономии в 13 книгах», созданное во II веке, более известное под своим арабским названием «Альмагест». В нем утверждалось, что небосвод имеет идеальную форму — форму сферы, форма Земли также идеальна, это шар, помещенный в центр мира; с помощью набора идеальных круговых движений объясняется видимое движение планет. Форма, выбранная для описания законов неба, умозрительная, она предложена из соображений красоты и симметрии, а не получена экспериментально.

Поиск выраженного математическим языком идеального продолжается и позже. Иоганн Кеплер утверждал, что «геометрия есть сам Бог», она «служит ему прообразом при сотворении мира». Поэтому «главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые Бог ниспослал миру и открыл нам на языке математики». Неудивительно, что своим самым великим достижением Кеплер считал геометрическую модель Солнечной системы, основанную на правильных многогранниках (Платоновых телах). Согласно ей, орбита Меркурия является экватором сферы, вокруг которой описан октаэдр, по экватору сферы, описанной вокруг него, движется Венера и так далее. Ниже приведены погрешности, отличающие реальные орбиты от теоретически рассчитанных согласно модели Кеплера.

Планета Многогранник, вписанный в соответствующую сферу Погрешность радиусов
Меркурий
Венера Октаэдр 9,0%
Земля Икосаэдр 9,9%
Марс Додекаэдр 20,8%
Юпитер Тетраэдр 13,9%
Сатурн Куб 5,9%
Уран Октаэдр 16,1%
Нептун Икосаэдр 24,6%
Плутон Додекаэдр 3,5%

Другая модель Солнечной системы построена на основе эмпирической формулы, в которую входят числа от 1 до 4, то есть образующие Тетраксис. Это правило в 1766 году предложил немецкий математик И. Тициус, но получило оно известность после того, как его впервые опубликовал немецкий астроном И. Боде в 1772 году. Правило связывает среднее расстояние a планеты от Солнца с ее порядковым номером и выглядит следующим образом:

a = 0.1 (2n • 3 + 4),

где a — средний радиус орбиты планеты, выраженный в радиусах Земной орбиты (расстояние, равное среднему радиусу орбиты Земли, называется астрономической единицей). Здесь для Меркурия следует положить n = –∞, так что 2–∞ = 0, для Венеры n = 0, так что 20 = 1, для Земли и Марса n = 1 и 2 соответственно, для Юпитера n = 4 и далее по порядку. Пропущенное значение n = 3 соответствует поясу астероидов, что дало, в частности, возможность предположить, что когда-то между Марсом и Юпитером обращалась еще одна планета, распавшаяся на части в результате космической катастрофы. Эта планета получила гипотетическое название Фаэтон.

Объект Отношение расчетного и реального радиусов орбиты
Меркурий 1,0333
Венера 0,96775
Земля 1
Марс 1,0502
Фаэтон ?
Юпитер 0,99917
Сатурн 1,0436
Уран 1,0208
Нептун 1,2913
Плутон 1,9676

Это правило достаточно точно описывает радиусы первых семи планет от Меркурия до Урана. Причина столь хорошего совпадения астрономам неизвестна.

Математика. Бог. Вселенная. Человек

Издавна считалось, что математика — язык, который в наилучшей степени может помочь нам понять законы прекрасного. Источником красоты является гармония, упорядочивающая все части, вообще говоря различные по природе, согласно совершенным соотношениям. Человек может стать счастливым, стремясь к красоте, которую он чувствует душой.

Эти положения легли в основу множества философских теорий эпохи Возрождения и более поздних. В качестве примера приведем теорию красоты одного из титанов Возрождения флорентинца Леона Батиста Альберти, гуманиста, философа, писателя, архитектора, скульптора, художника. В его теории математика играет ведущую роль: он считает, что законы природы выражаются определенными числами, а красота — идеальный образ числа и идеальный образец для художника.

Математику пытались использовать не только для описания основных принципов развития мира и человека, но и для познания Бога. Так, Николай Кузанский, исходя из того, что божественное присутствует везде, дал начало исследованиям по интегральному и дифференциальному исчислениям, пытаясь из бесконечно малых дифференциалов сложить единый интеграл. Формально эта схема была воплощена в трудах Ньютона и Лейбница.

На Платоновы тела, или правильные многогранники.
Слева направо: в верхнем ряду — тетраэдр, октаэдр, куб; в нижнем ряду — додекаэдр, икосаэдр.

Модель Солнечной системы из пяти Платоновых тел. Иллюстрация из книги И. Кеплера «Космографическая тайна»

Ученые Нового времени, несмотря на наступление позитивизма, также видели Бога в простых и красивых математических законах.

Для эмпирика Джона Локка существовали лишь три несомненные истины — наше собственное существование, существование Бога и истинность законов математики.

Широко известно высказывание Лейбница «Cum Deus calculat, fit mundus», что значит: «Как Бог вычисляет, так мир делает». Вслед за философами Средневековья, такими, например, как Фома Аквинский, Лейбниц считал, что Бог не может действовать вопреки законам логики, но он может повелеть все, что логически возможно, и это предоставляет ему величайшую широту выбора.

Ньютон считал, что математическая красота и сила законов механики, оптики и так далее является наилучшим подтверждением существования Бога. Рассуждая об аналогиях в устройстве музыки и цвета, он писал об устройстве музыки: «…в нем содержится нечто от гармонии цветов (о которой знают художники, но о которой сам я не имею достаточно определенного суждения), подобной, может быть, созвучию тонов. Посему правдоподобным кажется сходство между крайним пурпуром (фиолетовым. — А. Ч.) и краснотой, — концами цветов — и между концами октавы (каковая может почитаться унисоном)». Этим он, по сути, продолжил пифагорейскую традицию поиска математических законов гармонии.

Иммануил Кант, размышляя о возможностях познания мира, пришел к выводу, что математические понятия не могут быть извлечены из опыта, они априорны, а следовательно, всеобщи и необходимы. «Математика дает нам прекрасный пример того, как далеко мы можем продвинуться в априорном знании независимо от опыта».

Ученые, благодаря трудам которых произошли колоссальные сдвиги в естествознании ХХ века, также отдавали должное математическому устройству мира. Анри Пуанкаре всеобщий характер математических законов выразил во фразе: «Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем». Арнольд Зоммерфельд, один из творцов квантовой механики и современной математической физики, утверждал: «Платоновское выражение, что Бог является геометром, сегодня кажется более истинным, чем когда-либо. Мы все яснее видим, что наиболее общая математическая формулировка одновременно является и физически наиболее плодотворной». Схожим образом рассуждал и Поль Дирак: «Ситуацию, вероятно, можно было бы описать, сказав, что Бог является математиком очень высокого ранга и что он при построении Вселенной использовал математику высшего уровня». О необыкновенной силе и красоте математики размышлял Юджин Вигнер: «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов, это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им».

***

Мы видим, что существует глубокая традиция, связывающая устройство мира и нашу способность его познания с математическими понятиями. Причина такой связи скрыта от нас, таинственна, часто она побуждает ученых прибегать при описании этого феномена к терминологии далекой от той, что характерна для научных текстов, а более свойственна текстам религиозным. Мне думается, что причина этого не в стремлении лидеров теоретического сообщества «освятить» эти принципы, «убедить в недоказуемом», а в искреннем удивлении перед тайной.

Обсудить статью в сообществе читателей журнала «Человек без границ»

Подписаться на журнал «Человек без границ»

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *