Теория эйнштейна

ЭЙНШТЕЙН (Einstein) Альберт (14 марта 1879, Ульм, Германия – 18 апреля 1955, Принстон, США) – физик-теоретик, один из основоположников современной физики. В 1900 окончил Цюрихский политехникум. В 1902–08 работал экспертом в патентном бюро в Берне, в 1908–09 – приват-доцент в Бернском университете. В 1909–11 – профессор Цюрихского университета, в 1911–12 – профессор Немецкого университета в Праге, в 1912–14 – профессор Цюрихского политехникума. В 1913 избран в Прусскую академию наук. В 1914–33 – профессор Берлинского университета и директор Института физики. В 1933 эмигрировал в США, где до конца жизни работал в Принстонском институте высших исследований. Лауреат Нобелевской премии по физике (1921).

В 1905, продолжая исследования Г.Лоренца, А.Пуанкаре и др., Эйнштейн разработал специальную теорию относительности, основанную на принципах относительности (в любых инерциальных системах все физические процессы протекают одинаково) и постоянства скорости света в вакууме независимо от движения источника. Концепция Эйнштейна – отказ от характерного для классической физики понятия абсолютной одновременности, она дала возможность согласовать пространственно-временные понятия механики и электродинамики, в т.ч. установить преобразования Лоренца, как соответствующие переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой и оставляющие инвариантными законы движения во всех физических теориях. Идеи Эйнштейна были развиты Г.Минковским, предложившим в 1908 единую концепцию четырехмерного пространства-времени. В 1905 Эйнштейном была предложена идея квантованной структуры излучения (фотона), оказавшаяся плодотворной для объяснения фотоэффекта и др. явлений (впоследствии за это открытие он получил Нобелевскую премию). В ноябре 1915 Эйнштейн завершил построение основ общей теории относительности, согласно которой тяготение рассматривалось как искривление пространства-времени. Важный вклад в установление общерелятивистских уравнений гравитационного поля был внесен также Д.Гильбертом (с которым Эйнштейн вел плодотворную научную переписку). В 1917 Эйнштейн на основе этой теории развил идеи релятивистской космологии. В последующие годы его внимание было сосредоточено на проблеме построения единой геометрической теории гравитационного и электромагнитного полей. Исследования Эйнштейна оказали огромное влияние на философию науки и философию 20 в. в целом.

Философское мировоззрение Эйнштейна сложилось под влиянием философии Канта, Спинозы, Юма и Маха. Критический анализ основ механики, методологические установки Маха (ориентация на принцип наблюдаемости, операционально-измерительный подход, мысленный эксперимент) оказали важнейшее влияние на разработку Эйнштейном специальной и общей теории относительности. Эйнштейновская философия науки, его эпистемологическая концепция сложились на основе его опыта теоретика и суммированы в его письме к М.Соловину от 7 мая 1952 (см. Эйнштейновский сборник. М., 1967, с. 26). Задача теоретика– на экспериментально-эмпирической основе Ε («непосредственные данные нашего чувственного опыта») открыть фундаментальные законы природы А («аксиомы»), согласовав их через посредство логически (дедуктивно) выведенных из А частных утверждений S с экспериментальными данными Е. Логического же пути от Ε к А, по Эйнштейну, не существует. Хотя Эйнштейн считал, что этот путь опирается исключительно на интуицию, анализ его работ позволяет выявить некоторые характерные черты его эпистемологической техники: виртуозное владение методологическими принципами физики (соответствия, наблюдаемости, симметрии, сохранения, причинности, простоты, единства и др.); восприятие проблемных ситуаций как асимметрий и стремление к теоретическому выражению симметрий, обнаруживаемых на эмпирическом уровне; постулативно-объяснительная инверсия (постулирование того, что требует объяснения) и др. К этому следует добавить эпистемологические императивы, вытекающие из его философской концепции, условно обозначаемой как онтологический рационализм и связанной с «космической религией Эйнштейна» («вера в рациональную природу реальности», представляющей собой реализацию простейших математически мыслимых элементов).

Хотя Эйнштейн внес значительный вклад в создание и разработку квантовой теории, он не принял стандартную ныне копенгагенскую интерпретацию квантовой механики, считая последнюю неполной теорией. Он полагал, что специфические квантово-механические черты реальности (вероятностный характер, принципы дополнительности и неопределенности) получают свое объяснение на основе единой геометрической теории поля.

В 1939 вместе с Л.Сциллардом и Е.Вигнером Эйнштейн стал инициатором создания ядерного оружия в США, обратившись с соответствующим предложением в письме к Ф.Рузвельту, которое было стимулировано реальной угрозой создания этого оружия в фашистской Германии. В последнее десятилетие своей жизни активно боролся за ядерную безопасность, видя выход в создании «мирового правительства».

Сочинения:

1. The Collected Papers of Albert Einstein, ed. by John Stachel, vol. 1–8. Princeton Univ. Press, 1987–1998 (изд. продолжается);

2. Собр. науч. тр., т. 1–4. М., 1965–1967;

3. Эйнштейн о мире. М., 1994.

Литература:

  1. Кузнецов Б.Г. Эйнштейн. М., 1979;
  2. Эйнштейн и философские проблемы физики XX века. М., 1979;
  3. Визгин Вл.П. Эйнштейн и проблема построения научной теории (на материале общей теории относительности). – «ВФ», 1979, № 10;
  4. Он же. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование в 1900–1915 гг.). М., 1981;
  5. Он же. Единые теории поля в 1-й трети XX в. М., 1985;
  6. Пайс А. Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. М., 1989;
  7. Эйнштейновский сборник. М., 1966–1990;
  8. Albert Einstein: Philosopher-scientist, ed. by P.A.Schilpp, vol. 1–2. Ν. Υ., 1959;
  9. Pyenson L. The Young Einstein: The Advent of Relativy. Bristol, 1985;
  10. Hentschel K. Interpretationen und Fehlinterpretationen der speziellen and allgemeinen Relativitätstheorien durch Zeitgenossen Albert Einsteins. Bassel–Boston–В., 1990;
  11. Holton G. Einstein, History and the Other Passions: The Rebellion Against Science at the End of the XX-th Century. Reading, 1996.

Вл.П.Визгин, К.А.Томилин


Перевод статьи Ask Ethan #87: The Shape Of The Universe
Не пытайтесь стереть прошлое. Оно формирует вас сегодняшнего и помогает вам стать тем, кем вы будете завтра.
Зиад К. Абдельнуар
Вселенная даже больше, чем мы с вами, сформирована условиями, существовавшими во время её рождения. Но какую же форму она приняла? Я выбрал вопрос читателя Тома Берри, который спрашивает:
Я так понимаю, что у вселенной форма седла. Интересно, почему в момент Большого взрыва вся материя не разлетелась равномерно во все стороны и не придала вселенной шарообразную форму?
Начнём с того, что уберём одно измерение, и поговорим о том, что формирует двумерную поверхность. Вы, наверно, представите себе плоскость – типа листа бумаги. Её можно скатать в цилиндр, и хотя поверхность окажется самосвязанной – с одной стороны можно перейти на другую, это всё равно будет плоская поверхность.
Что это значит? Например, можно нарисовать треугольник и сложить размеры внутренних углов. Если мы получим 180 градусов, то поверхность – плоская. Если нарисовать две параллельные линии, они останутся такими на всём протяжении.
Но это лишь один из вариантов.

Поверхность сферы – двумерная, но не плоская. Любая линия начинает закругляться, и если вы сложите углы треугольника, вы получите величину больше, чем 180 градусов. Нарисовав параллельные линии (линии, которые начинаются, как параллельные), вы увидите, что, в конце концов, они встретятся и пересекутся. Такие поверхности имеют положительную кривизну.
Поверхность седла, с другой стороны, представляет другой тип неплоской двумерной поверхности. Она вогнутая по одному направлению и выпуклая по другому, перпендикулярному, и является поверхностью с отрицательной кривизной. Если вы нарисуете на ней треугольник, то получите сумму углов меньше 180 градусов. Две параллельные линии будут расходится в разные стороны.

Ещё можно представить плоский круглый кусочек бумаги. Если вырезать из него клин и заново его склеить, вы получите поверхность положительной кривизны. Если вставить этот клин в другой такой же кусок, вы получите поверхность отрицательной кривизны, как на картинке.
Двумерную поверхность довольно просто представить из трёхмерного пространства. Но в нашей трёхмерной Вселенной всё обстоит несколько сложнее.

Что до кривизны Вселенной, у нас есть три варианта:
— положительная кривизна, как бы сфера в высших измерениях
— отрицательная, как бы седло в высших измерениях
— нулевая (плоская) – как трёхмерная решётка
Можно было бы подумать, что наличие Большого взрыва предполагает первый, сферический вариант, поскольку Вселенная вроде бы одинакова во всех направлениях — но это не так. Есть очень интересная причина, по которой Вселенная одинаковая во всех направлениях – и она никак не связана с кривизной.

То, что Вселенная одинакова во всех местах (гомогенна) и направлениях (изотропна), доказывает существование Большого взрыва, гипотеза о котором говорит, что всё началось с горячего и плотного однородного состояния, в котором начальные условия и законы природы везде были одинаковы.
С течением времени небольшие отклонения приводят к появлению структур – звёзд, галактик, кластеров, и великих пустот. Но причина однородности вселенной – в том, что всё имело одно и то же начало, а не в кривизне.
Но мы можем померить величину кривизны.

На картинке представлены шаблоны флуктуаций, запечатлённые в фоновом космическом излучении. От того, как работает Вселенная и из чего она состоит, зависят пики флуктуаций – самые горячие и холодные места на конкретных угловых масштабах. Если у Вселенной отрицательная кривизна (седло), Вселенная склоняется к меньшему масштабу, если положительная – к большему.
Причина та же, что мы описывали – как прямые линии ведут себя на этих поверхностях.

Поэтому нам просто необходимо изучить флуктуации фонового космического микроволнового излучения, и мы сможем измерить кривизну наблюдаемой Вселенной.
И что же мы получим?

А получим мы, что величина кривизны, показанная в голубых кружочках, равна примерно 0.5%. Это говорит о том, что кривизна Вселенной неотличима от плоскости.
Она действительно расширялась равномерно во все стороны, но к кривизне это отношения не имеет. Конечно, на гораздо больших, чем мы можем наблюдать, масштабах, кривизна Вселенной может быть ненулевой. Инфляционный процесс, происходивший после Большого взрыва, экспоненциально увеличивает каждый участок Вселенной.
То есть, возможно, что кривизна Вселенной положительная или отрицательная, что она похожа на седло или сферу, что она может быть самосвязанной, и мы сможем выйти с одного конца и попасть на другой. Этого исключать нельзя – но в наблюдаемой части этого нет. И для нас Вселенная неотличима от плоской. Но, как показано на рисунке в части D, можно считать, что ваше пространство плоское, а при этом Вселенная может не быть плоской. Это вывод из той информации, которой мы располагаем.
Оригинал материала.

Когда Эйнштейн упомянул о своем желании решить проблему гравитации, ему было сказано две вещи: первое, — что это просто невозможно сделать, а второе заключается в том, что никто не поверит ему, даже если бы он это сделал. В ответ он создал свое величайшее творение — Общую теорию относительности.

Общая теория относительности сделала для гравитации то, что даже Ньютон не смог сделать, — дала ей объяснение, показала закономерность, благодаря которой вещи падают, вращаются на орбите и искажают время. Фактически, создание общей теории относительности связано с противостоянием с Ньютоном и его представлениями о гравитации, которая им описывалась как таинственна сила, сближающая объекты. Хотя по правде говоря, даже сам Ньютон не понимал, как это работает, поскольку сила притяжения действует через пустое пространство, и горько критиковал свою собственную теорию гравитации.

Тем не менее, несмотря на вопросы, которые остались без ответа, формулы Ньютона для гравитации всё еще использовались в течение десятилетий, как основа для универсальных законов физики, чтобы точно предсказывать движения планет и даже отправить людей на Луну. Чтобы понять общую теорию относительности, нам нужно кратко взглянуть на ньютоновскую теорию тяготения и на то, где она не дотягивает.

Перо и шар для боулинга в вакууме, при отсутствии сопротивления воздуха, падают с одинаковой скоростью.

Ньютоновская гравитация была сформулирована главным образом для объяснения двух вещей. Первым был вопрос о том, почему объекты разного веса падают на землю одновременно. Обратите внимание на слово «падают», а не «брошены». Бросание объектов добавляет дополнительную энергию, которую объект не имел бы, если бы он был просто уронен. Например, если бы не сопротивление воздуха, перо и свинцовый шар при падении приземлились бы одновременно. Два камня разных размеров и веса также будут приземляться на землю одновременно.

Другой вопрос, который Ньютон попытался решить, — это орбиты небесных тел, почему Луна вращается вокруг Земли, а Земля — вокруг Солнца. В конечном счете, ответ Ньютона на это заключался в том, что гравитация — это сила, пропорциональная массе объекта. Чем больше масса объекта, тем сильнее его гравитационное притяжение.

Но, как мы уже упоминали ранее, проблема ньютоновской гравитации заключается в её действии на расстоянии. Силы зависят от массы объектов и от расстояния между ними. Проблема с этим в том, что сила не имеет носителя, она действует в пустом пространстве. Также проблема в том, что она нарушает «ограничение скорости» Вселенной: ничто не может двигаться быстрее скорости света. Если объект изменил свое положение во Вселенной, силы притяжения, с которой он действует на другие объекты, мгновенно изменились бы, нарушив это ограничение скорости.

В попытке решить проблему гравитации Эйнштейн впервые придумал Специальную теорию относительности, которая учитывала только объекты, движущиеся по прямой и с постоянной скоростью. Однако она не включала ускорения, и Эйнштейн стремился создать теорию, которая могла бы применяться более широко. Так родился термин Общая теория относительности.

В начале 1900-х Эйнштейн провел мысленный эксперимент. Он смотрел в окно и представлял себе человека, падающего с крыши. Когда человек падал, он чувствовал себя невесомым. Но что если бы этот человек был в падающем лифте? Лифт будет двигаться с той же скоростью, что и человек, который также почувствует себя невесомым.

Именно тогда Эйнштейн понял, что происходит. Вопреки теории Ньютона, не было никакой гравитационной силы, тянущей объекты вниз. Вместо этого пространство вокруг них было изогнуто, подталкивая оба объекта к земле. Оно толкало, а не притягивало, как это считалось в теории притяжения Ньютона. Последствия этого открытия были удивительными. Это означало, что пространство является гибким, его можно складывать и изгибать. Эйнштейн объединил пространство и время в так называемый пространственно-временной континуум.

Внедрение любой массы в пространство искажает окружающее её пространство.

В то время как естественное движение вещей состоит в том, чтобы следовать простейшему пути через пространство-время, масса изгибает окружающее её пространство так, что мы движемся к центрам большей массы. Это и есть сила, которую мы называем гравитацией.

Как это описывает орбиты планет и их лун? Ньютоновская гравитация говорит, что Солнце притягивает нас к себе, но мы не падаем на него, потому что Земля также одновременно движется в сторону по эллиптической орбите. Но согласно общей теории относительности, огромная масса Солнца искажает пространство вокруг себя, и это изогнутое пространство толкает Землю к Солнцу.

Большим шаром здесь является Солнце, превращающее пространство-время в чашу, которая заставляет Землю двигаться по круговой (точнее эллиптической) орбите.

Ни одно из этих изображений не является точным относительно того, как на самом деле выглядит кривизна пространства-времени — три измерения пространства, обернутые вокруг четвертого измерения (времени), — но наши умы не способны представить, как это будет выглядеть на самом деле. Поскольку мы живем в трех измерениях, мы можем представить себе только трехмерные ситуации.

Откуда мы знаем, что Общая теория относительности работоспособна? Доказательства этого есть во всей Вселенной. Теория не только объясняет нейтронные звезды и аномалии орбиты Меркурия, но и правильно предсказывает черные дыры и способность гравитации сгибать свет. Звездный свет, например, искривляется, когда проходит вблизи Солнца. Еще один интересный момент со светом заключается в том, что когда он отклоняется вокруг более компактных объектов, это приводит к нескольким изображениям этого объекта. Это обычно наблюдаемое явление называется гравитационным линзированием и помогает подтвердить общую относительность.

Знаете ли вы, что время также может быть искажено? Время замедляется ближе к объектам очень большой массы. Например, для тех, кто живет в высоком небоскребе, время течет быстрее, чем для находящихся на земле. Но, эта разница очень мала, разумеется.

Теория относительности также предсказывает, что в момент зарождения нашей Вселенной она была очень горячей и плотной, что в конечном итоге привело к Большому взрыву. С тех пор мы обнаружили, что наша Вселенная расширяется гораздо быстрее, чем предсказывал Эйнштейн.

Как выразился физик-теоретик Джон Уилер (John Wheeler), «пространство-время говорит материи, как двигаться, а материя говорит пространству-времени, как изгибаться».

Что касается опыта с двумя падающими объектами разной массы, теория относительности говорит, что они упали на пол одновременно, потому что на них не действует сила.

Применений общей теории относительности гораздо больше. Это был один из величайших даров Эйнштейна миру, и он продолжает проходить тестирование. Но это действительно рисует довольно странную картину Вселенной — ту, где червоточины могут существовать, и параллельные линии могут в конечном итоге расходиться. Мы до сих пор всё еще обсуждаем эту теорию. Мы продолжаем использовать слово «гравитация», и мы продолжаем думать с точки зрения ньютоновской гравитации, потому что это более понятно для нашего ума, чем изогнутое пространство-время.

ДОГМАТ ВЕРЫ ФИЗИКА-ТЕОРЕТИКА
(раньше статья была )
Об авторе: Владимир Павлович Визгин — доктор физико-математических наук, заведующий сектором истории физики, механики и астрономии Института истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова РАН.
ХОТЯ Альберт Эйнштейн не рекомендовал историкам и философам науки принимать всерьез то, что физики-теоретики говорят «о методах, которыми они пользуются», соответствующие высказывания могут содержать ценный материал, касающийся методологии научного познания или эпистемологии. Например, нас может заинтересовать вопрос об использовании учеными религиозной или квазирелигиозной терминологии в описании или их собственных открытий, или открытий их коллег. В результате может оказаться, что мы найдем некий важный слой скрытых эпистемологических стимулов или мотивов, определяющих работу ученых.
ДУГА ЭЙНШТЕЙНА
Существует хорошая рабочая схема построения научной теории, предложенная Эйнштейном и принимаемая так или иначе большинством теоретиков. Она содержит три уровня физического знания: «непосредственно данные нашего чувственного опыта» (экспериментально-эмпирический уровень Е), «система аксиом» теории (то есть уровень фундаментальных принципов и уравнений, уровень А) и система частных утверждений S, вытекающих из А и сопоставляемых с опытом Е. Труднейшей задачей теоретика является открытие-изобретение «системы аксиом» А (в электродинамике и оптике — это система уравнений Максвелла, в квантовой механике — это уравнение Шредингера или его эквивалент и т.д.). «Психологически А основаны на Е, — подчеркивал Эйнштейн, комментируя свою схему. — Но никакого логического пути,
ведущего от Е к А, не существует». На схеме он изобразил «интуитивный прыжок» от Е к А в виде дуги, которую
назовем «дугой Эйнштейна». Так вот, историки и философы науки, занимающиеся эпистемологией фундаментальных теорий,
стараются понять природу «дуги Эйнштейна», выяснить те факторы, которые ее определяют. В случае физики к ним, в частности, относятся методологические принципы физики, такие, как принципы соответствия, симметрии, причинности, сохранения, простоты, наблюдаемости и др., которыми, кстати говоря, виртуозно пользовался сам Эйнштейн при создании специальной и общей теории относительности. Но ими не исчерпываются факторы, влияющие на «дугу Эйнштейна». Имеется еще один класс эпистемологических требований, или эпистемологических императивов, внешним признаком которых является интенсивное использование квазирелигиозных выражений, возвышенных, патетических формулировок.
На некоторые из них обращал внимание, например, Е.Л. Фейнберг при изучении интуитивных суждений в науке. В частности, он показал, что «космическая религия» Эйнштейна и используемая им «религиозная» терминология относятся к ключевым для теоретиков эпистемологическим императивам, которые приходится принимать на веру ввиду их недоказуемости. Возвысить эти требования, окрасить их эмоционально, придать им пафос, «освятить» их необходимо для того, чтобы заставить теоретиков поверить в их неизбежность. Заметим, что теоретики, так или иначе использующие квазирелигиозную терминологию, могут по-разному относиться к религии и ее связи с наукой. Например, Макс Планк был верующим человеком, но не связывал свою веру с физикой; и он, и Вернер Гейзенберг полагали, что назначение религии в том, чтобы «освятить» идеалы нравственности.
Эйнштейн вообще не был верующим, а Поль Дирак был даже «воинствующим атеистом». Вместе с тем все они, имея в виду
некоторые эпистемологические императивы, не раз применяли выражения религиозного характера.
«CUM DEUS CALCULAT, FIT MUNDUS»
Эта чеканная формула Лейбница в переводе с латинского звучит так: «Как Бог вычисляет, так мир делает». Она вполне созвучна с более ранними квазипифагорейскими высказываниями Галилея, Кеплера, Декарта, Ньютона и других корифеев науки Нового времени. Вольфганг Паули в своей знаменитой статье о Кеплере цитирует последнего: «Следы геометрии запечатлены в мире так, словно геометрия была прообразом мира нами». Или: «Геометрия есть сам Бог… и служит ему прообразом при сотворении мира».
Такие формулировки были характерны для создателей математического естествознания XVII в. Именно тогда на новой основе возродилась пифагорейско-платоновская традиция, видевшая основу физической реальности в математике. Получив развитие в учениях средневековых схоластов, считавших, что Бог сотворил мир рационально, на математической основе, эта традиция открыла путь к изучению природы как к поиску математических законов и структур, раскрывающих сущность явлений и вместе с тем замыслы Творца. Конечно, усмотреть эти математические структуры предполагалось в наблюдаемых явлениях посредством эксперимента и процедур идеализации. Сама концепция божественной математичности природы получила философское обоснование в трудах Декарта. Ньютон также видел божественный план устройства мироздания. От Ньютона уже прямой путь к классической физике XIX в., затем к квантово-релятивистской физике.
Комментируя нынешнюю ситуацию во взаимоотношениях физики и математики, известный российский математик, академик Владимир Арнольд писал о ее родстве с положением дел в ньютоновскую эпоху: «Фундаментальные физические законы просто описываются в чисто геометрических терминах. Этот факт (остающийся таинственным и сегодня) настолько поразил Ньютона, что он счел его доказательством существования Бога». В этих словах в несколько «приземленной» форме — все та же мысль о математичности мира. Ньютон считал ее доказательством бытия Бога, а современный ученый отмечает таинственность этого факта «математичности фундаментальных законов» физики. Постепенно во второй половине XVIII — начале XIX в. происходит «вытеснение» Бога из математического исследования. У французских просветителей Ж.Л. Лагранжа, П.С. Лапласа, С. Пуассона, Ж.Б. Фурье, А.М. Ампера и др. при обсуждении математического устройства природы мы почти не встречаемся с квазирелигиозной терминологией и ссылками на Бога. Хотя именно упомянутые французские ученые выявили математическую структуру классической физики, установив, что фундаментальные законы электричества и магнетизма, оптики, тепловых явлений описываются на языке математического анализа, прежде всего теории дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка. Это стало одним из главных нервов научной революции, связанной с созданием классической физики.
ПРЕДУСТАНОВЛЕННАЯ ГАРМОНИЯ
Очередное возрождение пифагорейско-платоновской традиции, и при этом с довольно интенсивным использованием «возвышающих» формулировок вплоть до квазирелигиозных выражений, мы обнаруживаем в период разработки математически
изощренных релятивистских и квантовых теорий. Возрождаются и выражения кеплеровского и лейбницевского типа; их используют и математики (Д.Гильберт, Г.Минковский, Ф.Клейн, позже Н.Бурбаки и др.), и физики (А.Зоммерфельд, В.Гейзенберг, М.Борн, П.Дирак, Е.Вигнер и, конечно, Эйнштейн и др.). Вот некоторые примеры высказываний подобного рода.
Макс фон Лауэ вспоминал, что в конце XIX — начале XX в. такие физики, как Людвиг Больцман, Генрих Герц, Макс Планк и другие именно в этом ключе говорили об уравнениях Максвелла: «Понимание того, как сложнейшие разнообразные явления математически сводятся к таким прочным и гармонически прекрасным уравнениям Максвелла, является одним из сильнейших переживаний, которые доступны человеку. Больцман цитировал однажды стихи по поводу этих формул: «Не Бог ли написал эти знаки, которые успокоили тревогу моей души и раскрыли мне тайну природы?» (из «Фауста» Гете. — В.В.).
Включение обнаруженных с помощью наблюдений и экспериментов закономерностей, регулярностей природы в элегантные математические структуры, угадывание таких структур и последующее подтверждение их правильности, эффективности становится все более распространенным и мощным методом теоретического познания. Гильберт уже в 1900 г. говорит о своего рода «предустановленной гармонии» между законами природы и математическими структурами. «…Предустановленная гармония, которую математик так часто обнаруживает в задачах, методах и понятиях различных областей знания», по его мнению, основана «на постоянно повторяющейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом» и поэтому является «кажущейся». Спустя 30 лет, обогащенный опытом участия в разработке общей теории относительности и квантовой механики, Гильберт снова говорит об этой гармонии, но уже без эпитета «кажущаяся»: «Еще большее впечатление производит явление, которое, заимствуя терминологию у Лейбница, мы называем предустановленной гармонией. Она является прямым воплощением и реализацией математических идей… Самым великолепным и самым чудесным примером предустановленной гармонии является эйнштейнова теория относительности… В новейший период все чаще встречаются случаи, когда важнейшие математические теории, стоящие в самом центре интересов математической науки, оказываются вместе с тем нужными в физике. Теорию уравнений с бесконечным числом переменных я развивал, исходя из чисто математической заинтересованности, и даже применял при этом терминологию спектрального анализа, не имея ни малейшего представления о том, что однажды в дальнейшем она будет реализовываться в реальных физических спектрах».
Аналогичным образом об этом замечательном феномене говорили друзья и коллеги Гильберта — Герман Минковский и Феликс Клейн, имея в виду прежде всего специальную теорию относительности и четырехмерную псевдоевклидову геометрию. Упоминанием об этой «предустановленной гармонии» между чистой математикой и физикой» заканчивается знаменитый кельнский доклад Минковского о четырехмерной формулировке теории относительности. Клейн же в своем докладе памяти Минковского описывает этот феномен как «совпадение двух совершенно обособленных по своему историческому происхождению рядов мыслей».
Этот феномен отмечался не только выдающимися геттингенскими математиками, внесшими в первой трети XX в значительный вклад в квантово-релятивистскую революцию, но и самими физиками-теоретиками, основоположниками этих теорий: Эйнштейном, Зоммерфельдом, Гейзенбергом, Борном, Дираком, Вигнером и др. Понятие «теория» в физике этого периода казалось неразрывно связанным с феноменом «предустановленной гармонии». Лауэ говорил: «Научное переживание истины есть в каком-то смысле «видение Бога».
Арнольд Зоммерфельд в своей лекции, прочитанной в 1933 г. в Эдинбурге, связывал обсуждаемое нами явление с ренессансом пифагорейско-платоновской концепции: «Платоновское выражение, что Бог является геометром, сегодня кажется более истинным, чем когда-либо. Мы все яснее видим, что наиболее общая математическая формулировка одновременно является и физически наиболее плодотворной». После весьма убедительных примеров, связанных с релятивистскими и квантовыми теориями, он добавил: «Во всех этих случаях была уверенность в том, что математические формулы эффективно контролируют физические явления и могут даже привести к их открытию». И далее: «Природу не заботит наша математическая беспомощность. Природа является лучшим математиком, чем мы. Она формулирует свои законы с помощью не простейших, а наиболее эффективных математических методов». Ему вторит (несколько позже) Гейзенберг: «Современная физика идет вперед по тому же пути, по которому шли Платон и пифагорейцы. Это развитие физики выглядит так, словно в конце его будет установлена очень простая формулировка закона природы… Трудно указать какое-нибудь прочное основание для этой надежды на простоту, помимо того, что до сих пор основные уравнения физики записывались простыми математическими формулами. Подобный факт согласуется с религией пифагорейцев, и многие физики в этом отношении разделяют их веру. Однако никто до сих пор еще не дал действительного доказательства, что это должно быть именно так».
Еще один основоположник квантовой теории Поль Дирак говорил об этой особенности физики в том же духе: «Природе присуща та фундаментальная особенность, что самые основные физические законы описываются математической теорией, аппарат которой обладает необыкновенной силой и красотой… Почему природа устроена именно так? На это можно ответить только одно: согласно нашим современным знаниям природа устроена именно так, а не иначе. Мы должны просто принять это как данное. Ситуацию, вероятно, можно было бы описать, сказав, что Бог является математиком очень высокого ранга и что он при построении Вселенной использовал математику высшего уровня».
Вернер Гейзенберг так описывает позицию Дирака: «Если не кривить душой, а это долг ученого, то нужно признать, что религии высказывают явно ложные утверждения, для которых нет никакого оправдания в реальности. Ведь уже само понятие «Бога» есть продукт человеческой фантазии… Религия — это род опиума, который дают народу, чтобы убаюкать его сладкими фантазиями и т.д.».
Число высказываний такого рода в действительности очень велико. Одно из них принадлежит Н.Бурбаки, весьма далекому от физики (в отличие от геттингенских корифеев): «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм».
В замечательной совместной книге теоретика Игоря Кобзарева и математика Юрия Манина «Элементарные частицы. Диалоги физика и математика» (1997) описанная «предустановленная гармония» переформулирована в более прозаических терминах. Говоря о языке физики микромира, авторы отмечают следующее: «Этот язык, будучи математическим по своему существу, ведет двойное бытие, поскольку имеет двойную семантику. Одно его лицо обращено к некоему миру платонических сущностей, который по общему консенсусу математиков послеканторовского периода является местилищем смысла любых математических конструкций… Но коль скоро математический текст является «теорфизическим» рассуждением, он имеет семантику, обращенную к физической реальности, и интерпретируется по другим правилам». Несколько ранее Юрий Манин выражал надежду на то, что эвристика, опирающаяся на обсуждаемый феномен, приведет к решающему теоретическому прогрессу физики: «Безумная идея (в смысле Н.Бора. — В.В.), которая ляжет в основу будущей фундаментальной физической теории, будет осознанием того, что физический смысл имеет некоторый математический образ, ранее не связывавшийся с реальностью… Это проблема выбора, а не порождения…»
Менее склонный к философии, чем Манин и Кобзарев, академик Людвиг Фаддеев также подчеркивал математичность фундаментальной физики как ключевой эмпирический факт: «Не будучи философом, я не стану брать на себя задачу объяснить, почему фундаментальные физические законы формулируются только на математическом языке… Не будем пытаться объяснить это свойство математика и примем за факт то, что по мере все более глубокого понимания структуры материи законы физики будут неизбежно формулироваться на языке математики».
ФИЗИКА ТАМ, ГДЕ ЕСТЬ ДЕЙСТВИЕ
«Сними обувь твою с ног твоих, ибо место, на котором ты стоишь, есть Земля Святая». Эти проникновенные слова из библейской Книги исхода (Исход, III, 5) использовал К.Ланцош в своей книге о вариационных принципах механики в качестве эпиграфа к главе, посвященной теории Гамильтона-Якоби.
После этого следует весьма поэтическое «Введение», начинающееся так: «В своем восхождении (к вершинам аналитической механики. — В.В.) мы поднялись довольно высоко и теперь находимся в разрешенной атмосфере теорий необыкновенной красоты и приближаемся к высокому плато, на котором встречаются и находят общую почву геометрия, оптика, механика и волновая механика и т.д.».
Мы снова встречаемся с квазирелигиозной патетикой, на этот раз адресованной формализмам аналитической механики. Аналогичные выражения можно найти у многих теоретиков, относящих их к вариационным принципам (особенно принципу Гамильтона), лагранжеву и гамильтонову формализмам, теории канонических преобразований и другим структурам и методам аналитической механики.
Это подсказывает нам, что и тут мы имеем дело с феноменом, родственным явлению «предустановленной гармонии между физикой и математикой». Только в данном случае речь идет об эффективности аналитической механики в физике. Наиболее поразительным здесь является то, что понятия и формализмы, выросшие на очень скудной почве классической механики начиная с Лагранжа и Гамильтона нашли свое место сначала в классической физике, а затем — и в квантовых и релятивистских теориях. При этом они не просто получили некоторые применения — они легли в основу физических теорий.
Понятия действия и соответствующий вариационный принцип стали ключевым для получения наиболее фундаментальных уравнений физики (уравнения Максвелла, уравнений гравитации Эйнштейна-Гильберта, уравнений Шредингера, Дирака, Клейна-Фока и др.). Оказалось, что фундаментальные физические теории имеют вариационную структуру, включая новейшие теории калибровочных полей и т.п. Если бы вся физика сводилась к механике, то это было бы неудивительно. Но, как вполне выяснилось в XX в., физика далеко выходит за пределы механики даже на классическом уровне. Поэтому вариационность основных уравнений физики и укорененность их структур в аналитической механике ниоткуда не следуют и являются весьма загадочными. Понятия и методы аналитической механики сохраняют свою эффективность в самых современных теориях вплоть до теории суперструн и супергравитации.
В XX в. Макс Планк был одним из первых, кто с большим пафосом говорил о вариационной структуре физических законов, в частности о том, что принцип Гамильтона является наиболее универсальной и емкой формулой физического мира, позволяющей достичь теоретического единства многообразия физических явлений. Вот одно из высказываний этого рода: «Высшим физическим законом, венцом всей системы (физики. — В.В) является, по моему мнению, принцип наименьшего действия и т.д.». В том же духе писал о вариационных принципах другой классик квантовой теории Борн: «Мы еще далеки от того, чтобы овладеть универсальной формулой Лапласа (то есть некоторой единой теорией физического мира. — В.В.), но мы можем быть уверены, что если мы и найдем ее, она будет иметь вид экстремального принципа…» Мало что изменилось в отношении этой, второй, «непостижимости» к концу XX в. В одном из лучших современных курсов квантовой теории поля мы находим характерные слова: «Есть нечто прекрасное и способное внушить благоговейные чувства в том, что все основные законы классической физики можно вывести из одной-единственной математической конструкции, именуемой действием» (Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс. М.: Мир, 1984, 333 с.).
Вариационные формулировки фундаментальных уравнений (на классическом уровне) выглядят, как заметил Юрий Манин, как своего рода принципы равновесия соответствующих систем в пространстве-времени. Понятие действия при этом становится единственной суперхарактеристикой, некоей первичной величиной (в физике «действие первично», все остальное — энергия, масса и т.п. — вторично). Манин со ссылкой на неизвестного автора однажды сформулировал это так: «Физика там, где есть Действие».
«Освящение» вариационности, или «аналитической механичности», физики (вместе с характерным для них понятием действия), культивирование эстетических и «благоговейных чувств», ими вызываемых, и т.п. — все это необходимо для того, чтобы теоретики при создании новых фундаментальных теорий всегда имели в арсенале своих методов эти замечательные концепции, не имеющих, строго говоря, какого-либо логического или философского обоснования.
«КОСМИЧЕСКОЕ РЕЛИГИОЗНОЕ ЧУВСТВО»
Речь Эйнштейна, посвященная 60-летию Макса Планка (1918), при всей ее краткости содержит несколько заветных эпистемологических идей, которые здесь явно сформулированы им впервые и к которым он впоследствии обращался не раз. Имея в виду Планка и, очевидно, себя самого, он набрасывает эскиз своего теоретико-познавательного кредо: «Высшим долгом физиков является поиск тех общих элементарных законов, из которых путем чистой дедукции можно получить картину мира. К этим законам ведет не логический путь, а только основанная на проникновении в суть опыта интуиция. При такой неопределенности методики можно думать, что существует произвольное число равноценных систем теоретической физики; в принципе это мнение безусловно верно. Но история показала, что из всех мыслимых построений в данный момент только одно оказывается преобладающим. Никто из тех, кто действительно углублялся в предмет, не станет отрицать, что теоретическая система практически однозначно определяется миром наблюдений, хотя никакой логический путь не ведет от наблюдений к основным принципам теории. В этом суть того, что Лейбниц удачно назвал «предустановленной гармонией»… Горячее желание увидеть эту предустановленную гармонию является источником настойчивости и неистощимого терпения, с которым… отдался Планк общим проблемам науки, не позволяя себе отклоняться ради более благодарных и легче достижимых целей… Душевное состояние, способствующее такому труду, подобно религиозности или влюбленности» (подчеркнуто мною. — В.В.).
Фактически здесь мы видим первоначальный набросок широко известной эйнштейновской схемы построения научной теории, о которой мы говорили в начале этой статьи и которая была более подробно изложена им в письме к М.Соловику от 7 мая 1952 г. Здесь впервые у Эйнштейна мы встречаемся с идеями, близкими к «космической религии» и связанными с той «патетической терминологией», о которой мы уже говорили выше. Правда, речь идет о предустановленной гармонии между миром наблюдений (явлений) и теоретической системой, что очень близко, но не вполне совпадает с гармонией между физикой и математикой. Наконец, здесь же отмечается, что именно эта гармония — источник религиозного чувства теоретиков, поддерживающего их «настойчивость и неистощимое терпение» в реализации их «высшего долга». В 1930 г. в очерке об Иоанне Кеплере Эйнштейн возвращается к мысли об этой гармонии, и на этот раз речь идет именно о предустановленной гармонии между физической реальностью и математическими структурами: «К восхищению перед этим замечательным человеком добавляется еще чувство восхищения и благоговения, но относящееся не к человеку, а к загадочной гармонии природы, которая нас породила» (то есть то самое «космическое религиозное чувство»; подчеркнуто мною. — В.В.).
Далее Эйнштейн на примере конических сечений, реализованных в орбитах небесных тел, поясняет смысл этой гармонии и резюмирует: «Представляется, что человеческий разум должен свободно строить формы (то есть разрабатывать математические структуры. — В.В.), прежде чем подтвердится их действительное существование». Правда, и сам Эйнштейн, и чтимый им Планк, и другие теоретики, говоря об элементах религии и веры в научном познании, нередко имели в виду веру в реальное существование мира, природы или веру в их познаваемость, в их рациональное устройство и т.п. Выражения «космическая религия» или «космическое религиозное чувство», вероятно, впервые у Эйнштейна появились в 1930 г. (в статье «Религия и наука», опубликованной в ноябре этого года): «Я утверждаю, что космическое религиозное чувство является сильнейшей и благороднейшей из пружин научного исследования. Только те, кто может по достоинству оценить чудовищные усилия и, кроме того, самоотверженность, без которых не могла бы появиться ни одна научная работа, открывающая новые пути, сумеют понять, каким сильным должно быть чувство, способное само по себе вызвать к жизни работу, столь далекую от обычной практической жизни. Какой глубокой уверенностью в рациональном устройстве мира и какой жаждой познания даже мельчайших отблесков рациональности, проявляющейся в этом мире, должны были обладать Кеплер и Ньютон… Люди такого склада черпают силу в космическом религиозном чувстве. Один из наших современников сказал, и не без основания, что в наш материалистический век серьезными учеными могут быть только глубоко религиозные люди» (подчеркнуто мною. — В.В.). И это писал человек, не верующий в обычном, церковном смысле этого слова, которому были чужды не только «религия страха», но также и «моральные религии», лежащие в основе традиционных религиозных систем! В этом пункте он существенно отличался от Планка, который был верующим и который, по словам Макса Борна, «не видел существенного разрыва между своими научными и религиозными убеждениями».
В другом месте Эйнштейн в качестве символа веры теоретика называет «убеждение, что мир представляет собой упорядоченную и познаваемую сущность», убеждение которого «зиждется на религиозном чувстве». Это религиозное чувство, по Эйнштейну, «вдохновляет современные научные исследования» и является единственной созидательной религиозной деятельностью в настоящее время…» Это убеждение Эйнштейн сохранил до конца своей жизни. В письме к М.Соловину от 1 января 1951 г. он писал, в сущности, о том же: «Я не могу найти выражения лучше, чем «религия», для обозначения веры в рациональную природу реальности… Там, где отсутствует это чувство, наука вырождается в бесплодную эмпирию…» Свое понимание «совершенной структуры всего сущего, того непостижимого… что скрыто за непосредственным переживанием», «рационального устройства мира» Эйнштейн связывал с «математической конструкцией», с теми «формами», которые «человеческий разум должен свободно строить… прежде чем подтвердится их действительное существование», и, таким образом, с феноменом «предустановленной гармонии» и «непостижимой эффективности математики в естественных науках». В 1933 г. он писал о том, что путь от опыта к аксиомам физики, который мы называем условно «дугой Эйнштейна», в значительной мере опирается на этот феномен: «Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответствующие математические конструкции физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность».
Так «космическое религиозное чувство» Эйнштейна смыкается с «предустановленной гармонией» Гильберта и Минковского, пифагорейско-платоновской божественной математичностью мира, о которой говорили Зоммерфельд, Гейзенберг, Дирак и другие, и «непостижимой эффективностью математики» Евгения Вигнера. Кстати говоря, Вигнер несколько переформулировал свою концепцию непостижимой эффективности математики, приписав ей статус фундаментального эпистемологического закона.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВНЕЛОГИЧЕСКИХ СУЖДЕНИЙ
Нарушив «заповедь Эйнштейна» (см. начало статьи), мы собрали достаточно обширный массив высказываний физиков и математиков XX в., насыщенных квазирелигиозными, патетическими выражениями. Анализ этого материала показывает, что в наибольшей степени он относится к феномену «предустановленной гармонии» между физической реальностью и математическими структурами (в меньшей степени — к соответствующей гармонии между фундаментальными физическими теориями и структурой вариационного исчисления или гармонии между физикой и аналитической механикой). Последняя, впрочем, может рассматриваться как весьма важный частный случай первой гармонии. При этом выясняется, что убедительное логическое, философское или какое-либо иное обоснование этих гармоний (совпадений, соответствий) отсутствует. Во всяком случае, в этом были уверены лидеры теоретической физики и математики и в первой (Гильберт, Клейн, Минковский, Эйнштейн, Зоммерфельд, Лауэ, Гейзенберг, Дирак и др.), и во второй (Бурбаки, Вигнер, Фейнман, Арнольд, Фаддеев и др.) половине XX в. Вместе с тем эти «гармонии», выраженные в форме «эпистемологического императива», являются своего рода «догматом веры физика-теоретика» и тем самым мощным стимулом в его работе, особенно в той ее части, которая относится к построению фундаментальных физических теорий.
Придание важным, но логически необоснованным, недоказуемым принципам теоретизирования или ореола «таинственности», «загадочности», «чудесности», «благоговейности», «непостижимости» и т.п., или даже характера религиозных или
квазирелигиозных догматов («космическое религиозное чувство» Эйнштейна), или эстетически привлекательной окраски тогда становится естественным и понятным: оно связано со стремлением лидеров теоретического сообщества «освятить» эти принципы, «убедить в недоказуемом». Как говорил Евгений Фейнберг о родственных интуитивных суждениях и их квазирелигиозной формулировке, «это лишь возвышенная формулировка для фундаментального обобщающего внелогического суждения». Правда, Фейнберг считал таким суждением (особенно в случае «космической религии» Эйнштейна) положение о существовании объективного мира, упорядоченного и познаваемого
Владимир Визгин,
опубликовал WeiRD
Источник: Наука-НГ

ART 16123 УДК 372.851:514.132.01

Акимова Ирина Яковлевна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет)», г. Москва irina akimova19@mail.ru

Ахметова Фания Харисовна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет)», г. Москва dobrich2@mail.ru

Заметки о геометрии Лобачевского

Аннотация. Статья посвящена вопросам исторического развития геометрии. Цель исследования — показать, что кроме геометрии, которую изучают в школе и вузах, существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского, которая значительно отличается от евклидовой. Исходя из поставленной цели, в работе определены следующие задачи: рассмотрены основные положения геометрии Евклида и основы геометрии Лобачевского, показана непротиворечивость геометрии Лобачевского. Статья будет полезна студентам физико-математических факультетов университетов и педагогических высших учебных заведений. Она может быть использована преподавателями и учащимися в классах с углубленным изучением математики. Ключевые слова: геометрия Евклида, геометрия Лобачевского, абсолютная геометрия.

Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).

Геометрия Лобачевского — это интересный, необычный раздел современной геометрии. Она дает материал для размышлений — в ней не всё так просто, не всё так ясно с первого взгляда; чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением.

Геометрия Лобачевского, как ее теперь называют, является крупнейшим завоеванием науки и составляет целую эпоху в развитии математики и смежных с ней наук. Деятельность Лобачевского вызывает изумление. Наряду с большой административной и педагогической работой он не покладая рук занимался и наукой. Лобачевскому было всего 34 года, когда он решил «многовековую» проблему пятого постулата из «Начал» Евклида и построил свою, неевклидову геометрию. Имя Лобачевского известно всему миру. Он вошел в историю математики как революционер в науке и «Коперник геометрии». Николай Иванович Лобачевский решил проблему, над которой человечество бесплодно билось более двух тысяч лет. Анализируя попытки доказать пятый постулат, Лобачевский сделал чрезвычайно смелый вывод о его недоказуемости. Раз пятый постулат недоказуем как теорема, то принципиально возможна другая геометрия, отличная от евклидовой,- неевклидова геометрия, отправной точкой которой является отрицание пятого постулата.

В развитии геометрии можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение этой науки .

ISSN 2304-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

научно-методический электронный журнал

Первый — период зарождения геометрии как математической науки протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до V в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами.

Второй период развития геометрии связан с ее становлением как самостоятельной математической науки: появились систематические изложения, где ее предложения последовательно доказывались. Примерно в 300 г. до н. э. свет увидел труд, ставший основой всей современной геометрии, — «Начала» Евклида. В «Началах» собраны все геометрические сведения, полученные трудами десятков математиков античности, живших до Евклида. Этот труд, состоящий из тридцати больших томов, на два тысячелетия стал единственным учебником, по которому можно было изучить геометрию. И «Начала» прекрасно описывают пространство, в котором мы живем, благодаря чему эту геометрию назвали геометрией Евклида.

Третий период выделяют с 1-й половины XVII в., и связан он с Р. Декартом, который ввел в геометрию метод координат. Этот метод позволил связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную.

Четвертый период в развитии геометрии открывается построением Н. И. Лобачевским в 1826 г. новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского.

История создания геометрии Лобачевского одновременно является историей попыток доказать пятый постулат Евклида. Этот постулат представляет собой одну из аксиом, положенных Евклидом в основу изложения геометрии.

На самом деле геометрия Лобачевского не слишком сильно отличается от привычной нам евклидовой. Дело в том, что из пяти постулатов Евклида четыре первых Лобачевский оставил без изменения. Иными словами, он согласен с Евклидом в том, что между двумя любыми точками можно провести прямую, что ее всегда можно продолжить до бесконечности, что из любого центра можно провести окружность с любым радиусом и что все прямые углы равны между собой. Не согласился Лобачевский только с пятым, наиболее сомнительным, с его точки зрения, постулатом Евклида о параллельных. Таким образом, все теоремы, не зависящие от этого пятого постулата, являются общими для обеих геометрий; они образуют так называемую абсолютную геометрию .

История создания геометрии Лобачевского одновременно является историей попыток доказать пятый постулат Евклида. Этот постулат представляет собой одну из аксиом, положенных Евклидом в основу изложения геометрии. Пятый постулат — последнее и самое сложное из предложений, включенных Евклидом в его аксиоматику геометрии. Напомним формулировку этого пятого постулата: если две прямые пересекаются третьей так, что по какую-либо сторону от нее сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по эту же сторону исходные прямые пересекаются .

Звучит его формулировка чрезвычайно сложно, но если переводить ее на понятный простому человеку язык, то получается, что, по мнению Евклида, две непараллельные прямые обязательно пересекутся. Лобачевский сумел доказать ложность этого посыла.

23 февраля 1826 г. российский математик Николай Иванович Лобачевский (17921856) на заседании физико-математического факультета Казанского университета провозгласил о создании новой геометрии, названной им «воображаемой геометрией». Эта

научно-методический электронный журнал

геометрия была основана на тех же традиционных постулатах и аксиомах геометрии, как и у Евклида, но с заменой его пятого постулата о параллельных.

Таким образом, геометрия Лобачевского — один из видов неевклидовой геометрии, то есть геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная геометрия, за исключением 11-й аксиомы (пятый постулат), которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие ее. Иными словами, для одной прямой можно провести как минимум две прямые через одну точку, которые не будут ее пересекать, то есть в этом постулате Лобачевского речи о параллельных прямых вообще не идет. Говорится лишь о существовании нескольких непересекающихся прямых на одной плоскости. Таким образом, предположение о пересечении параллельных прямых родилось из-за банального незнания сути теории великого российского математика. Ведь при ближайшем рассмотрении оказывается, что в неевклидовой геометрии не только не говорится о пересечении параллельных прямых, но и не говорится о параллельных прямых вообще — разговор здесь идет именно о непересекающихся прямых, находящихся на одной плоскости .

Чтобы понять это, необходимо сделать одно очень важное уточнение: геометрия Лобачевского описывает не плоское пространство, как это делает геометрия Евклида, а оперирует понятиями гиперболического пространства. В геометрии Лобачевского пространство не плоско, оно имеет некоторую отрицательную кривизну. Представить это достаточно сложно, но хорошей моделью такого пространства являются геометрические тела, похожие на воронку и седло. И все сказанное выше относится именно к поверхностям этих фигур. Геометрия Лобачевского на первый взгляд не согласуется с нашими привычными представлениями о геометрии пространства. Например, в геометрии Лобачевского сумма углов у каждого треугольника своя и всегда меньше 180 градусов (рис. 1) . Однако геометрия Евклида получается из геометрии Лобачевского предельным переходом при стремлении кривизны поверхности к нулю.

Рис. 1. «Треугольник» по Лобачевскому, у которого сумма углов менее 180°

Необходимо избавиться от превратных понятий о геометрии Лобачевского и понять, что она может применяться только по отношению к миру с искривленным пространством. Однако космология (наука, изучающая Вселенную) в последние годы приходит к выходу, что пространство, в котором мы живем, может обладать отрицательной кривизной, наилучшим образом описываемой именно геометрией Лобачевского.

научно-методический электронный журнал

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Неевклидовы геометрии — это целый пласт теорий в математике, где основой является отличный от Евклидова пятый постулат. Лобачевский, в отличие от Евклида, к примеру, описывает гиперболическое пространство. Существует еще теория, описывающая сферическое пространство, — это геометрия Римана. Вот в ней-то как раз параллельные прямые пересекаются. Классический тому пример из школьной программы — меридианы на глобусе. Если посмотреть на лекало глобуса, то окажется, что все меридианы параллельны. Меж тем стоит нанести лекало на сферу, как мы видим, что все ранее параллельные меридианы сходятся в двух точках — у полюсов. Вместе теории Евклида, Лобачевского и Римана называют «три великих геометрии». Таким образом, нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — сферической геометрии Римана, отрицательная — геометрии Лобачевского (рис. 2) .

Рис. 2 (1) — геометрия Евклида; (2) — геометрия Римана; (3) — геометрия Лобачевского

Независимо от Лобачевского к подобным идеям пришел венгерский математик Янош Бойяи (1802-1860), опубликовавший свою работу на три года позже Лобачевского (1832), и выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), у которого после его смерти были найдены отдельные неопубликованные наброски начальных положений неевклидовой геометрии. Однако труды Яноша не были замечены широкой публикой, а Карл Гаусс и вовсе предпочел не издаваться. Поэтому именно наш ученый считается первопроходцем в этой теории. Однако существует несколько парадоксальная точка зрения, что первым неевклидову геометрию придумал сам Евклид. Дело в том, что он самокритично считал свой пятый постулат не очевидным, поэтому большую часть из своих теорем он доказал, не прибегая к нему.

Полное признание и широкое распространение геометрия Лобачевского получила через 12 лет после его смерти, когда стало понятно, что научная теория, построенная на базе некоторой системы аксиом (исходных положений, принимаемых без доказательства), считается только тогда полностью завершенной, когда эта система аксиом удовлетворяет трем условиям: независимости, непротиворечивости и полноты. Именно этим свойствам и удовлетворяет геометрия Лобачевского.

Современная наука приходит к пониманию, что евклидова геометрия лишь частный случай геометрии Лобачевского и что реальный мир точнее описывается именно формулами русского ученого. Сильнейшим толчком к дальнейшему развитию геометрии Лобачевского стала теория относительности Альберта Эйнштейна, которая показала, что

научно-методический электронный журнал

само пространство нашей Вселенной не является линейным, а представляет собой гиперболическую сферу. Между тем сам Лобачевский, несмотря на то, что всю жизнь работал над развитием своей теории, называл ее «воображаемой геометрией».

Можно сказать, что Лобачевский на полстолетия опередил математическую мысль XIX в. Геометрия Лобачевского представляет теорию, богатую содержанием и имеющую применение как в математике, так и в физике. Ее историческое значение состоит в том, что ее построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики. Геометрия Лобачевского не только имеет большое значение для абстрактной математики как одна из возможных геометрий, но и непосредственно связана с приложениями математики к физике. Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, открытая в работах X. Лоренца, А. Пуанкаре, А. Эйнштейна, Г. Минковского и описываемая в рамках специальной теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского. Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.

Ссылки на источники

3. Атанасян Л. С. Геометрия Лобачевского. — М.: Просвещение, 2001. — 336 с.

4. Атанасян Л. С. Геометрия Лобачевского: учеб. электронное издание. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. — 464 с.

5. Каган В. Ф. Указ. соч.

6. Широков П. А. Указ. соч.

7. Атанасян Л. С. Геометрия Лобачевского. — М.: Просвещение, 2001. — 336 с.

8. Атанасян Л. С. Геометрия Лобачевского. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. — 464 с.

Irina Akimova,

Notes about the Lobachevskian geometry

научно-методический электронный журнал

3. Atanasjan, L. S. (2001). Geometrija Lobachevskogo, Prosveshhenie, Moscow, 336 p. (in Russian).

5. Kagan, V. F. (1955). Op. cit.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

6. Shirokov, P. A. (1955). ). Op. cit.

7. Atanasjan, L. S. (2001). ). Op. cit.

8. Atanasjan, L. S. (2014). ). Op. cit.

Рекомендовано к публикации:

Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 16.05.16 Получена положительная рецензия Received a positive review 18.05.16

Принята к публикации Accepted for publication 18.05.16 Опубликована Published 30.06.16

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *